INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

El término Geometría proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metron (medida); su origen se remonta al nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir las tierras. En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como calcular las áreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos.

La geometría Plana estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los polígonos, los cuadriláteros, y la circunferencia; esta geometría también recibe el nombre de geometría Euclidiana, en honor del matemático griego Euclides, quien vivió hacia el año 300 a.C. y quien, con otros matemáticos griegos, empezó a sistematizar todos los conocimientos existentes de aquella época; todas sus aportaciones están en su libro “los elementos”, escrito alrededor del siglo IV a.C.

En la actualidad, el estudio de la Geometría se ha diversificado. Existen varias ramas de la geometría que estudian situaciones concretas. Así, tenemos la geometría analítica, que es la conjugación del álgebra y la geometría plana y que se expresa por medio de sistemas de coordenadas; la topología, cuyo objeto de estudio son las propiedades que pertenecen invariables en los cuerpos geométricos; la trigonometría, que estudia los ángulos y los lados de los triángulo.

HISTORIA DE LA GOMETRÍA: ASIRIOS-BABILONIOS, EGIPCIOS, GRIEGOS

Desde la antigüedad y hasta finales de la edad Media, la palabra matemáticas se definía como la ciencia de los números, de las figuras geométricas y de las magnitudes. Sin embargo, los orígenes de las matemáticas se remontan hasta los albores de la propia inteligencia humana. Los estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que los seres humanos realizaron cálculos y medidas desde períodos muy tempranos y que llegaron a concebir figuras geométricas incluso antes que se inventara la escritura.

LOS ASIRIOS-BABILONIOS

El documento matemático más antiguo que se conoce perteneció a la civilización Sumeria, cultura que se desarrollo durante el tercer milenio antes de nuestra era. Dicho documento está formado por unas tablillas de arcilla con inscripciones cuneiformes.

Los asirios-babilonios sabían calcular áreas de algunas figuras geométricas como el rectángulo, el triángulo, y el trapecio; así como el volumen de algunos prismas rectos y pirámides de base cuadrada. Poseían nociones sobre semejanza de triángulos y aplicaciones prácticas del Teorema de Pitágoras. Es probable que además, superan que el lado de un exágono es igual al radio de la circunferencia, ya que le asignaron a “pi” un valor de 3.

LOS EGIPCIOS

Otra de las civilizaciones antiguas que desarrolló importantes conocimientos matemáticos fue la egipcia. Existen documentos que datan de alrededor del siglo XIX a.C. en los que aparecen reglas de cálculo algebraico y numérico así como procedimientos para calcular longitudes, áreas de algunas figuras planas y volumen de ciertos poliedros. Adoptaron a “pi” un valor de 3.1604

En la antigüedad, la agricultura fue una actividad vital; los conocimientos matemáticos se aplicaban profusamente en el terreno de la producción agrícola y, por supuesto, en otras áreas de la actividad humana, como la construcción. A quienes medían las tierras los llamaban “tendedores de cuerdas”, porque utilizaban un cordel o cuerda que les servía como regla, compás y escuadra (en la actualidad, al que mide se le llama agrimensor) Se dice que el historiador griego Herodoto (484-420 a.C.), en sus Historias, atribuye el nacimiento a la Geometría a la necesidad real de medir las tierras de cultivo después de cada crecida del Río Nilo, ya que éste borraba o alteraba los límites y se requería la exactitud, porque de ello dependía el monto del pago de los impuestos.

LOS GRIEGOS

La ciencia matemática como tal, esto es como una sistematización de los conocimientos existentes, no surgió sino hasta que los pensadores y filósofos griegos se abocaron a esta tarea. Antes solo había existido un conjunto de reglas (o convenciones) que respondían a las necesidades vitales para el desarrollo de la civilización, como medir las tierras, la navegación, el movimiento de los astros para calcular las estaciones, etc.; se trataba de un conocimiento valioso, pero no sistematizado.

Gracias a los Geómetras de la Grecia antigua, hace más de dos mil años que la Geometría dejó de ser exclusivamente una ciencia para medir los terrens de cultivo.

El pensamiento racional de los griegos condujo a los primeros matemáticos a buscar no sólo el cómo sino además el porqué de los fenómenos y de la realidad que los rodeaba, es decir, del mundo por ellos conocido.

Tales de Mileto (640-545 a.C.) viajó por Babilonia y Egipto, allí tuvo contacto con los conocimientos matemáticos que éstas sociedades habían desarrollado; fue él quien introdujo la geometría entre los pensadores griegos.

No se puede afirmar plenamente si fue Tales de Mileto o los discípulos de la escuela de Pitágoras quienes desarrollaron las matemáticas deductivas; pero lo que sí está plenamente comprobado es que este método influyó en otras ciencias y en la filosofía misma.

Para los griegos, el estudio de las matemáticas tenía un objetivo principal: entender el lugar que ocupa el ser humano en el Universo, de acuerdo con un esquema racional. Las matemáticas ayudaron a ordenar las ideas en cadenas lógicas de razonamiento, la cual se le considera como la más racional de las ciencias.

Con base en las matemáticas, pensadores y comerciantes griegos trataron de encontrar explicación a muchas ideas que los pueblos orientales no habían sometido a juicio de razón: ¿Por qué el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales?, ¿por qué el área de un triángulo es igual a la mitad de la de una rectángulo de base y altura iguales? Conforme se respondían éstas y otras preguntas más especializadas, hasta que el conocimiento se fue agrupando en las diversas ciencias, como la biología, la física, la cosmología, etcétera.

Se cuenta que Ptolomeo I Soter, rey egipcio, le pidió a Euclides como un favor especial que redujera la dificultad de la Geometría; a lo que Euclides respondió: “Señor, en la geometría no existen caminos particulares para los reyes”.

Era tan elevado el concepto que los pensadores griegos tenían de las matemáticas, que Platón hizo poner en el pórtico de la famosa academia la siguiente frase: “no entre quien no sepa Geometría”.

CONCEPTOS BÁSICOS: AXIOMAS, POSTULADOS, TEOREMAS, PUNTO, LÍNEA, SUPERFICIE, CUERPO

El universo de la geometría está constituido por un conjunto de proposiciones; su estudio se apoya, desde la época griega, en el método deductivo, que consiste en conocimientos encadenados de manera lógica, aceptados como verdaderos, llamados axiomas y postulados, para generar nuevas proposiciones verdaderas-los teoremas-, los cuales, a su vez, servirán para la demostración de nuevos teoremas, y así sucesivamente.

La geometría se creó de una manera tan perfecta que durante dos mil años, hasta el siglo XIX de nuestra era, sus fundamentos no fueron modificados.

EL PUNTO

El concepto de punto es difícil de definir. Nos lo podemos imaginar como la huella que dejaría la punta infinitamente afilada de un lápiz. Hay que imaginárselo tan pequeño que carezca de dimensiones; es decir, que no posea longitud, ni ancho, ni fondo.

Para Pitágoras (580-500 a.C.), el punto era el inicio de sus enseñanzas; lo consideraba lo más simple que existía. A partir de ahí, todos los demás cuerpos geométricos eran una pluralidad de puntos; es decir, estaban constituidos por un número infinito de puntos.

Los puntos se designan con una letra mayúscula y se representan con un punto pequeño o una cruz, y en ocasiones con una raya, como se muestra en las siguiente figuras:

LÍNEA

La línea está constituida por una sucesión continua de puntos y sólo posee una dimensión: la longitud. Euclides sólo menciona un tipo de línea: la recta.

Herón, otro geómetra griego, divide a las líneas en:

a)      Recta

b)      Curva

c)       Mixtas

SUPERFICIES

Si las líneas tienen una sola dimensión (la longitud) las superficies incorporan un elemento más, el ancho. Por tanto las superficies tienen dos dimensiones: longitud y ancho. Algunos ejemplos de superficies pueden ser una sombra, la cara de un cuerpo geométrico o una pared.

CUERPOS Y SÓLIDOS

Los cuerpo y sólidos tienen  tres dimensiones: longitud, ancho y fondo (o altura) y son todos los objetos que nos rodean como las mesas, los cuadernos, los libros, los árboles, las casas, los animales.

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Son los cuerpos que tienen formas especiales o regulares, como los conos, los cubos, los prismas, y las esferas. Los cuerpos geométricos poseen tres dimensiones: largo, ancho y altura.

Así los tres elementos con los que trabaja la geometría analítica son; línea, superficie y volumen; cada uno determinado por las dimensiones: largo; largo y ancho; largo, ancho y altura, respectivamente.

PROPOSICIONES VERDADERAS

Como ya se dijo, el método deductivo que utiliza la geometría se apoya en la creación de teoremas. Cada teorema tiene dos elementos:

·         Hipótesis: contiene los planteamientos que son supuestos.

·         Tesis: es la afirmación que se busca demostrar.

Los siguientes son ejemplos de Teoremas:

LA RECTA

A una línea recta es posible prolongarla por cualquiera de sus dos extremos, por ello decimos que su longitud es infinita.

Una línea recta se representa con una raya o una flecha sobre dos letras mayúsculas que simbolizan dos de sus puntos, o también con una letra minúscula:

Notación

AB es la distancia entre dos puntos A y B.

es la recta que contiene a los puntos A y B.

Si tomamos un punto cualquiera P y a partir de él señalamos una dirección, obtenemos una semirecta o rayo al que llamaremos procedente  de P, es decir, una semirecta o rayo tiene un origen o punto de partida que, en este caso, es el punto P.

Si sobre una recta AB localizamos dos puntos R y S, todos los puntos comprendidos entre R y S formarán parte del segmento RS; el segmento siempre tiene dos puntos extremos.

Un segmento de recta se dibuja así:

Y su nombre es 

, lo cual se lee “el segmento cuyos puntos extremos son A y B”.

A cada segmento le podemos asociar su medida, que es la distancia existente entre sus puntos extremos. A diferencia de una recta, que puede ser infinita si prolongamos sus extremos, un extremo si tiene extremos conocidos, y por tanto, medida; por ello debe decirse “longitud de segmento de una recta” y no “longitud de una recta”.

POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS

Según la posición de una con respecto a otra, dos recta en un plano pueden ser:

·         Perpendiculares.

·         Paralelas.

·         Oblicuas.

RECTAS PERPENDICULARES

Dos rectas que al cruzarse forman cuatro ángulos rectos son perpendiculares entre sí.

Las rectas perpendiculares se representan de la siguiente manera:

La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio.

RECTAS PARALELAS

Dos o más líneas son paralelas si se prolongan indefinidamente y nunca se cruzan. Por lo anterior podemos afirmar que todas las perpendiculares a la misma recta son paralelas entre sí.

Las líneas paralelas se representan con una par de rayas verticales: 

TRAZO DE RECTAS PARALELAS

1)      Se traza la recta m.

2)      Se localiza el punto p por donde pasará la recta paralela a m.

3)      Se marcan arbitrariamente dos puntos A y B sobre la recta m.

4)      Con el compás apoyado en B y con una abertura igual a la distancia AP se raza un arco de circunferencia.

5)      Con un centro en P y una abertura del compás igual a la distancia AB se raza un arco que corte al anterior.

6)      Se traza la recta que pase por P y el punto donde se cortaron los dos arcos.

ÁNGULOS FORMADOS POR DOS RECTAS PARALELAS Y UNA DE SUS SECANTES

Dos rectas paralelas cortadas oblicuamente por una transversal forman  ocho ángulos, de los cuales cuatro son agudos e iguales entre sí y cuatro son obtusos y también iguales entre sí.

·         Ángulos opuestos por el vértice: a y d, c y b, e y h, f y g.

·         Ángulos alternos internos: c y f, e y d.

·         Ángulos alternos externos: a y h, b y g.

·         Ángulos correspondientes: a y e, c y g, b y f, d y h.

RECTAS OBLICUAS

Dos rectas que se cruzan sin formar ángulos rectos se llaman oblicuas, como se muestra en la siguiente figura:

USO DE INSTRUMENTOS GEOMÉTRICOS

En el mundo que nos rodea, se observa un sinfín de patrones y diseños geométricos hechos por el hombre; los mosaicos de los pisos, las ventanas de algunas edificaciones antiguas, las fuentes, los adoquines, las columnas, etc. La mayor parte de ellos depende de construcciones geométricas, muchas veces bastantes simples. El saber reconocer, entender y reproducir tales formas, o incluso crear otras, puede ser agradable e interesante.

Para la construcción de figuras geométricas se emplean instrumentos sencillos, entre los que destacan la regla, las escuadras y el compás.

TRAZADO DE LÍNEAS RECTAS

¿Cuántas formas hay de trazar una línea recta?

Quizás la más antigua es colocar un hilo o cuerda estirada entre dos puntos y trazar un contorno con un lápiz.

Otra manera es usar una regla o una escuadra; de hecho, ésta es la función de una regla.

Una forma más es realizar un doblez en una hoja de papel.

Los últimos dos procedimientos se emplean, además, para el trazado de líneas con características particulares.

Si una hoja de papel se dobla dos veces en forma consecutiva, como se muestra, y luego se extiende, resultan dos líneas llamadas perpendiculares.

La escuadra sirve para trazar perpendiculares, ya que dos de sus lados perpendiculares. Algunos ejemplos de líneas de este tipo son los lados de un cuadrado o los de un rectángulo y las intersecciones de las calles de una ciudad.

El compás es un instrumento muy útil para el trazado de figuras geométricas curvas; la más importante de ellas es la circunferencia.

TRAZADO DE LA CIRCUNFERENCIA

Para trazar circunferencias con el compás, se apoya la punta metálica de éste en un punto al que por convección se llama O y se gira la otra punta hasta que el punto de inicio coincida con el punto final.

Otra forma consiste en usar un pedazo de cuerda (la longitud de ésta es el radio de la circunferencia), con un clavo amarrado en un extremo y un lápiz en el otro; el clavo sirve para fijar la cuerda en el centro y el lápiz para marcar el trazo. Este método se emplea en jardinería y en carpintería.

Las circunferencias delimitan los círculos, que son la parte del plano que queda dentro de ellas. Todos los puntos de una circunferencia están a la misma distancia del punto O, llamado centro; la distancia entre cada punto de la curva y el centro se denomina radio.

Con el compás se pueden trazar segmentos iguales de una recta. Si se quiere trazar un segmento 

 igual que 

 sobre una lineal, se abre el compás de manera que cada uno de sus pies esté sobre un extremo del segmento 

; sin modificar ésta apertura, se coloca la punta del compás sobre el punto C y se corta la línea l con la otra punta. El lugar del corte será el punto D.

El compás también se emplea para trazar líneas perpendiculares mediante el siguiente procedimiento, se traza una línea l y, sobre ella, se ubica un punto A, que será el centro de una primera circunferencia. Se traza ésta, y se denota como B un punto donde corta a la línea l (éste será el centro de una nueva circunferencia) con el mismo radio que la primera. Se unen mediante una línea los puntos, donde se cortan ambas circunferencias; ésta línea y la original son perpendiculares, lo cual se puede comprobar con una escuadra. El punto donde corta esta línea a l se llama pie de la perpendicular.

CONSTRUCCIONES DE LINEAS PARALELAS Y PERPENDICULARES.

Si se observa la línea del ferrocarril en un tramo recto, las líneas de un cuaderno con hojas rayadas o los carriles de una pista de carreras, se apreciará que representan segmentos de rectas que guardan la misma distancia entre sí. Si estos segmentos son prolongados, siempre conservarán a la misma distancia y, por tanto, nunca se cortarán. Éstas líneas son denominadas líneas paralelas.

Conviene recordar que las líneas que se cortan en un ángulo recto (90º) reciben el nombre de líneas perpendiculares.

Entre las líneas paralelas y perpendiculares existe una relación muy importante; si una línea es perpendicular a otra que a su vez es perpendicular a una tercera, entonces la primera y la tercera son paralelas. Y si dos líneas l y l₂ son paralelas y una tercera línea m es perpendicular a l, por tanto m también es perpendicular a l₂. Por lo que, si se sabe trazar líneas perpendiculares, puede trazarse líneas paralelas. En seguida se emplean dos métodos para el trazo de paralelas.

Método 1:

Para trazar dos líneas paralelas, se puede partir del método de doblar rl papel con objeto de obtener dos líneas perpendiculares; luego se aplica de nuevo el procedimiento para conseguir dos líneas que sean perpendiculares a una tercera, y por tanto, paralelas entre sí.

Método 2.

Las paralelas de una línea l que pase por un punto p se puede trazar con las escuadras o con una escuadra y una regla (las escuadras tienen dos lados perpendiculares); se coloca una escuadra de manera que uno de sus lados perpendiculares coincida con l. El otro lado perpendicular se apoya sobre cualquier lado de la segunda escuadra (o sobre la regla) y se traza una línea; se desliza la primera escuadra sobre la otra que permanezca fija y se traza la línea que pasa por P, la que será paralela a la primera. Lo realizado en este caso es el trazo de dos líneas perpendiculares a una tercera que, por tanto, son paralelas entre sí.

Los dos métodos anteriores muestran la solución de dos problemas distintos; en el primero, solo se querían trazar líneas paralelas; en el segundo, se tenía la línea cuya paralela había que encontrar, la cual además debía pasar por un punto dado.

El primer problema admitía una infinidad de soluciones; se traza una línea y se construye cualquier paralela a ella. Es segundo es de solución única: la dirección de las paralelas está dada por la línea l y, de todas las paralelas a l, solo se busca la que pasa por el punto p.

ANGULOS Y SU NOTACIÓN

Un ángulo es la amplitud de giro de una semirrecta de una posición inicial OA a una final OB. Las semirrectas son los lados del ángulo y el origen es el vértice.

La magnitud de un ángulo se mide en grados o radianes y no depende de la longitud de sus lados, sino de la abertura entre ellos; es decir, de la amplitud de la rotación de la semirecta que lo genera.

Notación.

Por lo general, los ángulos se designan con tres letras mayúsculas, la letra que corresponde al vértice se coloca entre las otras dos. También se utiliza una lera minúscula escrita en el interior del ángulo (por lo general es una letra minúscula del alfabeto griego: 

, entre otras). La letra mayúscula que corresponde al vértice se escribe en el exterior del ángulo junto al vértice. Para designar un ángulo se utiliza el símbolo 

seguido de cualquiera de las formas que se utilicen para su representación. Para evitar confusiones, cuando dos o más ángulos tienen el mismo vértice, se recomienda la utilización de la letra griega interior o las tres leras mayúsculas.

CLASIFICACIÓN DE LOS ÁNGULOS

Según la abertura de sus lados o la amplitud de la rotación, un ángulo puede ser: recto, agudo, obtuso, llano, entrante o perigonal.

Por su posición, los ángulos pueden ser:

·         Consecutivos: Son aquellos que tienen un lado común que los separa y un mismo vértice.

·         Adyacentes: son aquellos consecutivos que tienen un lado común mientras que los lados no comunes son prolongados uno del otro, es decir, pertenecen a la misma recta.

Opuestos por el vértice: Los ángulos opuestos por el vértice son iguales, por lo que 

MEDIDA DE LOS ÁNGULOS

Como se dijo antes, un ángulo depende de la amplitud o separación que hay entre las dos rectas que lo forman.

Medir un ángulo es comparar su amplitud con la de otro al que se considera como patrón. Estos patrones utilizan como unidades de medición los grados o los radianes.

SISTEMAS EMPLEADOS PARA MEDIR ÁNGULOS

Por lo general, los ángulos se miden en grados, como ya se ha explicado; pero en la actualidad, en muchas aplicaciones también se miden en radianes. Veamos los dos sistemas para medir ángulos.

Sistema sexagesimal: Este es el más común; su unidad se obtiene al dividir la circunferencia en 360 partes iguales, cada una de las cuales recibe el nombre de grado.

Un grado es entonces  1/360 de la circunferencia. El grado se divide, a su vez en 60 minutos y cada minuto en 60n segundos. Se representan de la siguiente manera: grado (°), minuto (´) y segundo (´´).

Sistema circular: La unidad utilizada en este sistema es el radián (rad). Un rad es un ángulo cuyos lados forman un arco de longitud igual al radio de la circunferencia.

Como la longitud de una circunferencia ( c ) es igual a 

 o lo que es lo mismo 

y puesto que la longitud del radio ( r ) es igual a la del arco del radián, decimos entonces que: 360°=c/r, por lo tanto:

CONVERSION DE GRADOS A RADIANES Y RADIANES A GRADOS

En ocasiones para medir los ángulos, será necesario utilizar el sistema sexagesimal (grados) y otras, el sistema circular (radianes); por lo que es conveniente conocer la forma para realizar las conversiones de un sistema a otro. Para convertir de grados a radianes y viceversa, es suficiente con plantear la siguiente proporción:

Ejemplos:

ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS

Dos ángulos que suman 90° son complementarios. Una forma práctica de encontrar el complemento de un ángulo, consiste en hacer una sencilla resta. A la suma de los dos ángulos, que es de 90°, se le resta el ángulo conocido y se obtiene el complemento.

Si sabemos que el ángulo y su complemento deberán sumar 90°, también se puede utilizar un método algebraico para resolver estos problemas, como se puede observar a continuación:

ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS

Dos ángulos que suman 180° son suplementarios.

Estos ángulos son suplementarios porque suman 180°. Si procedemos de manera similar a la de los ángulos complementarios, podemos decir que, para encontrar el suplemento de un ángulo menor que 180°, basta con hacer una resta. La suma (180°) menos el ángulo conocido es igual al suplemento.

ÁNGULOS Y USO DEL TRANSPORTADOR (falta imagenes)

Si dos líneas l y l₂ no son paralelas, entonces se cortan el el punto O. Las preguntas que surgen de este planteamiento son las siguientes: ¿Cómo se cortan estas dos líneas? Para contestar estas preguntas, se emplea la siguiente figura:

En este caso no se toma toda la línea l, sólo se considera una de las partes en que O la divide, y lo mismo se hace con l₂. A éstas partes de las líneas se les llama rayos; a la figura formada por los dos rayos, ángulo; al punto donde se tocan los rayos, vértice, y a los dos rayos, lados del ángulo.

Existen diferentes notaciones para un ángulo, una de ellas se efectúa con el símbolo 

 seguido de tres letras mayúsculas: 

En este punto puede surgir la pregunta: ¿Cómo se mide un ángulo? Pero lo que se mide en realidad es la magnitud del giro que habría que dar a un lado del ángulo para hacerlo coincidir con el otro. Este giro se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj; ello se indica con una flecha en el arco que señala el ángulo considerado. Como se mide cuánto hay que girar un rayo para hacerlo coincidir con el otro, la medida de un ángulo no depende del tamaño de los lados, sino de la posición de cada lado.

Una vuelta entera de un rayo respecto al otro se divide en 360 partes iguales; cada una de éstas se llama grado y se escribe así: 1º . El sistema de numeración que rige a los grados no es decimal, sino sexagesimal:

1º=60 minutos (60´)

1´=60 segundos (60´´)

El instrumento con el cual se miden los ángulos es el transportador. Para medir un ángulo se coloca el transportador de manera que:

a)      El vértice del ángulo coincida con la marca que aparece en el centro del lado recto del transportador.

b)      Un lado del ángulo coincida con la línea que marca 0º.

c)       El ángulo se mida en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

d)      El otro lado del ángulo corte el círculo exterior del transportador. Donde ello ocurra quedará determinada la magnitud del ángulo.

Las líneas perpendiculares forman un ángulo recto. Como un ángulo recto equivale a un cuarto de la vuelta, mide 90º. Esta clase de ángulos sirve para clasificar cualquier otro ángulo.

·         Si es menor que uno recto se llama ángulo agudo.

·         Si mide más de 90º, se denomina ángulo obtuso.

·         Si mide 180º, o sea, dos rectos, se la llama ángulo llano.