INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA EUCLIDIANA

El término Geometría proviene de las palabras griegas geo (tierra) y metron (medida); su origen se remonta al nacimiento de la civilización, cuando surgió la necesidad de medir las tierras. En su forma más elemental, la geometría se aplica a la resolución de problemas métricos, como calcular las áreas y perímetros de figuras planas, así como superficies y volúmenes de cuerpos sólidos.

La geometría Plana estudia las propiedades de las superficies y figuras planas como los triángulos, las rectas, los polígonos, los cuadriláteros, y la circunferencia; esta geometría también recibe el nombre de geometría Euclidiana, en honor del matemático griego Euclides, quien vivió hacia el año 300 a.C. y quien, con otros matemáticos griegos, empezó a sistematizar todos los conocimientos existentes de aquella época; todas sus aportaciones están en su libro “los elementos”, escrito alrededor del siglo IV a.C.

En la actualidad, el estudio de la Geometría se ha diversificado. Existen varias ramas de la geometría que estudian situaciones concretas. Así, tenemos la geometría analítica, que es la conjugación del álgebra y la geometría plana y que se expresa por medio de sistemas de coordenadas; la topología, cuyo objeto de estudio son las propiedades que pertenecen invariables en los cuerpos geométricos; la trigonometría, que estudia los ángulos y los lados de los triángulo.

HISTORIA DE LA GOMETRÍA: ASIRIOS-BABILONIOS, EGIPCIOS, GRIEGOS

Desde la antigüedad y hasta finales de la edad Media, la palabra matemáticas se definía como la ciencia de los números, de las figuras geométricas y de las magnitudes. Sin embargo, los orígenes de las matemáticas se remontan hasta los albores de la propia inteligencia humana. Los estudiosos de las civilizaciones antiguas opinan que los seres humanos realizaron cálculos y medidas desde períodos muy tempranos y que llegaron a concebir figuras geométricas incluso antes que se inventara la escritura.

LOS ASIRIOS-BABILONIOS

El documento matemático más antiguo que se conoce perteneció a la civilización Sumeria, cultura que se desarrollo durante el tercer milenio antes de nuestra era. Dicho documento está formado por unas tablillas de arcilla con inscripciones cuneiformes.

Los asirios-babilonios sabían calcular áreas de algunas figuras geométricas como el rectángulo, el triángulo, y el trapecio; así como el volumen de algunos prismas rectos y pirámides de base cuadrada. Poseían nociones sobre semejanza de triángulos y aplicaciones prácticas del Teorema de Pitágoras. Es probable que además, superan que el lado de un exágono es igual al radio de la circunferencia, ya que le asignaron a “pi” un valor de 3.

LOS EGIPCIOS

Otra de las civilizaciones antiguas que desarrolló importantes conocimientos matemáticos fue la egipcia. Existen documentos que datan de alrededor del siglo XIX a.C. en los que aparecen reglas de cálculo algebraico y numérico así como procedimientos para calcular longitudes, áreas de algunas figuras planas y volumen de ciertos poliedros. Adoptaron a “pi” un valor de 3.1604

En la antigüedad, la agricultura fue una actividad vital; los conocimientos matemáticos se aplicaban profusamente en el terreno de la producción agrícola y, por supuesto, en otras áreas de la actividad humana, como la construcción. A quienes medían las tierras los llamaban “tendedores de cuerdas”, porque utilizaban un cordel o cuerda que les servía como regla, compás y escuadra (en la actualidad, al que mide se le llama agrimensor) Se dice que el historiador griego Herodoto (484-420 a.C.), en sus Historias, atribuye el nacimiento a la Geometría a la necesidad real de medir las tierras de cultivo después de cada crecida del Río Nilo, ya que éste borraba o alteraba los límites y se requería la exactitud, porque de ello dependía el monto del pago de los impuestos.

LOS GRIEGOS

La ciencia matemática como tal, esto es como una sistematización de los conocimientos existentes, no surgió sino hasta que los pensadores y filósofos griegos se abocaron a esta tarea. Antes solo había existido un conjunto de reglas (o convenciones) que respondían a las necesidades vitales para el desarrollo de la civilización, como medir las tierras, la navegación, el movimiento de los astros para calcular las estaciones, etc.; se trataba de un conocimiento valioso, pero no sistematizado.

Gracias a los Geómetras de la Grecia antigua, hace más de dos mil años que la Geometría dejó de ser exclusivamente una ciencia para medir los terrens de cultivo.

El pensamiento racional de los griegos condujo a los primeros matemáticos a buscar no sólo el cómo sino además el porqué de los fenómenos y de la realidad que los rodeaba, es decir, del mundo por ellos conocido.

Tales de Mileto (640-545 a.C.) viajó por Babilonia y Egipto, allí tuvo contacto con los conocimientos matemáticos que éstas sociedades habían desarrollado; fue él quien introdujo la geometría entre los pensadores griegos.

No se puede afirmar plenamente si fue Tales de Mileto o los discípulos de la escuela de Pitágoras quienes desarrollaron las matemáticas deductivas; pero lo que sí está plenamente comprobado es que este método influyó en otras ciencias y en la filosofía misma.

Para los griegos, el estudio de las matemáticas tenía un objetivo principal: entender el lugar que ocupa el ser humano en el Universo, de acuerdo con un esquema racional. Las matemáticas ayudaron a ordenar las ideas en cadenas lógicas de razonamiento, la cual se le considera como la más racional de las ciencias.

Con base en las matemáticas, pensadores y comerciantes griegos trataron de encontrar explicación a muchas ideas que los pueblos orientales no habían sometido a juicio de razón: ¿Por qué el triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales?, ¿por qué el área de un triángulo es igual a la mitad de la de una rectángulo de base y altura iguales? Conforme se respondían éstas y otras preguntas más especializadas, hasta que el conocimiento se fue agrupando en las diversas ciencias, como la biología, la física, la cosmología, etcétera.

Se cuenta que Ptolomeo I Soter, rey egipcio, le pidió a Euclides como un favor especial que redujera la dificultad de la Geometría; a lo que Euclides respondió: “Señor, en la geometría no existen caminos particulares para los reyes”.

Era tan elevado el concepto que los pensadores griegos tenían de las matemáticas, que Platón hizo poner en el pórtico de la famosa academia la siguiente frase: “no entre quien no sepa Geometría”.

CONCEPTOS BÁSICOS: AXIOMAS, POSTULADOS, TEOREMAS, PUNTO, LÍNEA, SUPERFICIE, CUERPO

El universo de la geometría está constituido por un conjunto de proposiciones; su estudio se apoya, desde la época griega, en el método deductivo, que consiste en conocimientos encadenados de manera lógica, aceptados como verdaderos, llamados axiomas y postulados, para generar nuevas proposiciones verdaderas-los teoremas-, los cuales, a su vez, servirán para la demostración de nuevos teoremas, y así sucesivamente.

La geometría se creó de una manera tan perfecta que durante dos mil años, hasta el siglo XIX de nuestra era, sus fundamentos no fueron modificados.